​二元二次多项式怎么因式分解？

二元二次多项式怎么因式分解？

二元二次多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f(a，b，c不全为零)如何因式分解呢？

这里以x^2+4xy-12y^2-x+26y-12为例介绍一种方法——仨十字相乘法，即连续三次运用十字相乘法进行分解。

这种方法的步骤是：

第一步，用十字相乘法把二次项

x^2+4xy-12y^2

分解为(x-2y)(x+6y)；

第二步，用十字相乘法把只含x及常数项的二次项式

x^2-x-12

分解为(x+3)(x-4)。

注意这里对x^2的分解要保持与第一步的分解相同；

第三步，用十字相乘法把只含y及常数项的二次项式

-12^2+26y-12

分解为(-2y+3)(6y-4)。

这里要注意两点：

（1）对y^2的分解要保持与第一步的分解相同；

（2）对常数项-12的分解要保持与第二步的分解相同；

第四，把第二步和第三步常数项相同的因式分别并为一个因式，同时相同的常数项只写一个，

即把(x+3)与(-2y+3)并为一个因式，得

(x-2y+3)；

把(x-4)与(6y-4)并为一个因式，得

(x+6y-4).

则x^2+4xy-12y^2-x+26y-12

=(x-2y+3)(x+6y-4)。

说明：上述第一步、第二步和第三步中，如果某一步不能分解或不能满足条件，则说明该多项式是不能分解的。

上述分解用十字相乘法可表示为如图1：

如果把常数项的分解多写一遍，则可以显得更加直观明了(如图2所示)。

例如，分解因式：x^2-3xy+2y^2+11x-17y+30。

解：如图3所示，则

原式=(x-2y+5)(x-y+6)。

练习：分解因式：

（1）x^2+4xy+3y^2+x+5y-2；

（2）2x^2+3xy+y^2-26x-21y+80；

（3）x^2-y^2+6x+18y-72.